CALCULADORA DE TRANSFORMACIONES DE COORDENADAS TRIDIMENSIONALES CARTESIANAS A POLARES Y POLARES A CARTESIANAS

Calculadora de transformadas 3D cartesianas a polares y polares 3D a cartesianas

Cartilla de talleres de aplicaciones numéricas de clubes de ciencias del IPA. Esta herramienta permite transformar coordenadas tridimensionales entre el sistema cartesiano (x,y,z) y el sistema polar espacial (r,θ,φ), con salida angular en grados, minutos y segundos y una explicación paso a paso.

1) Transformada de coordenadas cartesianas a polares XYZ → r, θ, φ

Introduce las coordenadas cartesianas del punto A = (x,y,z). La calculadora devolverá la distancia radial r, el ángulo azimutal θ y el ángulo de elevación φ.

Coordenada X

Coordenada Y

Coordenada Z

Rango de θ 0° a 360° −180° a +180°

Salida angular Grados, minutos y segundos Grados decimales Radianes

Distancia radial r

—

Proyección ρ = √(x²+y²)

—

Ángulo θ

—

Ángulo φ

—

Verificación x = r cosφ cosθ

—

Verificación y = r cosφ sinθ

—

Verificación z = r sinφ

—

Cuadrante de θ

—

2) Transformada de coordenadas polares a cartesianas r, θ, φ → XYZ

Introduce la distancia radial y los ángulos. La calculadora reconstruirá las coordenadas cartesianas del punto.

Distancia radial r

Ángulo θ

Ángulo φ

Unidad angular de θ y φ de entrada Grados decimales Radianes

 

Coordenada X

—

Coordenada Y

—

Coordenada Z

—

Verificación r = √(x²+y²+z²)

—

Cartilla de talleres — fórmulas, paso a paso y aplicaciones numéricas

1. Objetivo del taller

Esta cartilla permite trabajar con dos descripciones equivalentes de un punto del espacio: coordenadas cartesianas (x,y,z) y coordenadas polares espaciales (r,θ,φ).

2. Convención geométrica

En esta convención:

• r es la distancia del origen al punto.
• θ es el ángulo de la proyección sobre el plano Oxy respecto al eje Ox.
• φ es el ángulo entre el vector espacial y su proyección sobre el plano Oxy.

3. Transformada de polares a cartesianas

Si se conoce (r,θ,φ), entonces:

x = r cosφ cosθ
y = r cosφ sinθ
z = r sinφ

4. Transformada de cartesianas a polares

Si se conoce (x,y,z), entonces:

r = √(x² + y² + z²)
ρ = √(x² + y²)
φ = asin(z/r)
θ = atan2(y,x)

5. Paso a paso: cartesianas → polares

1. Ingresar x, y y z.
2. Calcular la distancia radial r.
3. Calcular la proyección horizontal ρ.
4. Calcular φ = asin(z/r).
5. Calcular θ = atan2(y,x).
6. Expresar los ángulos en grados, radianes o grados-minutos-segundos.

6. Paso a paso: polares → cartesianas

1. Ingresar r, θ y φ.
2. Convertir los ángulos a radianes si vienen en grados.
3. Aplicar las tres ecuaciones directas.
4. Verificar reconstruyendo r = √(x²+y²+z²).

7. Casos especiales

• Si r = 0, el punto coincide con el origen y los ángulos no están definidos.
• Si x = 0 e y = 0, la proyección horizontal es nula y θ no tiene definición geométrica.
• Si z = 0, el punto se encuentra en el plano Oxy y entonces φ = 0.

8. Para saber más

El cambio entre coordenadas cartesianas y polares espaciales aparece en geometría analítica, física, astronomía y modelado 3D. Un mismo objeto puede describirse como un vector rectangular o como una distancia y dos ángulos.

En astronomía educativa, estas transformaciones ayudan a entender cómo una posición en el espacio puede representarse desde distintas perspectivas matemáticas sin cambiar el objeto físico.

9. Ejemplos astronómicos

• Posición de una estrella en un modelo 3D: un punto expresado como (x,y,z) puede reinterpretarse como distancia y dirección angular.
• Visualización de órbitas: una posición cartesiana instantánea de un planeta puede analizarse como radio y orientación espacial.
• Modelos del sistema solar: la ubicación de un cuerpo se puede mostrar en ambos sistemas para comparar métodos de representación.
• Clubes de ciencias: es un excelente ejercicio para conectar álgebra, trigonometría, geometría espacial y divulgación astronómica.

10. Ejemplo de taller

Para el punto A = (−3,4,2):

• r = √29 ≈ 5.385
• ρ = √25 = 5
• φ = asin(2/√29)
• θ = atan2(4,−3)

Como x<0 y y>0, el ángulo θ se ubica en el segundo cuadrante.

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